免税エリアでの飲酒年齢は何歳ですか？

Tomさん(上)の言う通りです。どの国がどの航空会社を管轄しているかにもよりますが、飲酒年齢はその国の規定に従います。

ただし、注意すべきニュアンスとしては、例えば、あなたが飛び立つ空港などがあります。航空会社にもよりますが、フライト全体（その国の一般的な境界線内にいるときだけでなく）は、出国する空港の法律に拘束されることがあります。

From 地図ハッピー :

しかし、飛行機がどこから出国するかによっては例外もあります。あるボディビルの掲示板のフライヤーさん（おい、みんな旅行好きだよね）からの報告では、航空会社は出発国のルールに従うとのこと。だから、ロサンゼルスからプエルト・バジャルタに行くアエロメヒコ航空に乗っていても、往路ではお酒が飲めないかもしれないが、復路では飲めるようになる。少なくともどこかには行けますよね？

tl;dr どの航空会社を利用するかにもよります。

禁酒地域の飲酒年齢は、あなたがいる国と同じですか？

その国の法律が適用されますが、@Calchasさんが指摘されているように例外もあります。

国の法律では許可されていないのに、免税エリアで蒸留酒を購入することはできますか？

いいえ、その国の法律に従うことになるため、購入することはできません。そのため、タバコ、エナジードリンク、アルコールなどの制限のある商品を購入する際には、未成年の場合は「カード」（身分証明書など年齢を証明するものの提示を求められます）が必要となります。

要するに、空港の免税エリアでは、その国の法律が適用されます。